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# 編輯距離問題
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編輯距離,也稱 Levenshtein 距離,指兩個字串之間互相轉換的最少修改次數,通常用於在資訊檢索和自然語言處理中度量兩個序列的相似度。
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!!! question
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輸入兩個字串 $s$ 和 $t$ ,返回將 $s$ 轉換為 $t$ 所需的最少編輯步數。
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你可以在一個字串中進行三種編輯操作:插入一個字元、刪除一個字元、將字元替換為任意一個字元。
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如下圖所示,將 `kitten` 轉換為 `sitting` 需要編輯 3 步,包括 2 次替換操作與 1 次新增操作;將 `hello` 轉換為 `algo` 需要 3 步,包括 2 次替換操作和 1 次刪除操作。
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![編輯距離的示例資料](edit_distance_problem.assets/edit_distance_example.png)
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**編輯距離問題可以很自然地用決策樹模型來解釋**。字串對應樹節點,一輪決策(一次編輯操作)對應樹的一條邊。
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如下圖所示,在不限制操作的情況下,每個節點都可以派生出許多條邊,每條邊對應一種操作,這意味著從 `hello` 轉換到 `algo` 有許多種可能的路徑。
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從決策樹的角度看,本題的目標是求解節點 `hello` 和節點 `algo` 之間的最短路徑。
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![基於決策樹模型表示編輯距離問題](edit_distance_problem.assets/edit_distance_decision_tree.png)
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### 動態規劃思路
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**第一步:思考每輪的決策,定義狀態,從而得到 $dp$ 表**
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每一輪的決策是對字串 $s$ 進行一次編輯操作。
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我們希望在編輯操作的過程中,問題的規模逐漸縮小,這樣才能構建子問題。設字串 $s$ 和 $t$ 的長度分別為 $n$ 和 $m$ ,我們先考慮兩字串尾部的字元 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 。
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- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同,我們可以跳過它們,直接考慮 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ 。
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- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同,我們需要對 $s$ 進行一次編輯(插入、刪除、替換),使得兩字串尾部的字元相同,從而可以跳過它們,考慮規模更小的問題。
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也就是說,我們在字串 $s$ 中進行的每一輪決策(編輯操作),都會使得 $s$ 和 $t$ 中剩餘的待匹配字元發生變化。因此,狀態為當前在 $s$ 和 $t$ 中考慮的第 $i$ 和第 $j$ 個字元,記為 $[i, j]$ 。
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狀態 $[i, j]$ 對應的子問題:**將 $s$ 的前 $i$ 個字元更改為 $t$ 的前 $j$ 個字元所需的最少編輯步數**。
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至此,得到一個尺寸為 $(i+1) \times (j+1)$ 的二維 $dp$ 表。
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**第二步:找出最優子結構,進而推導出狀態轉移方程**
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考慮子問題 $dp[i, j]$ ,其對應的兩個字串的尾部字元為 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ,可根據不同編輯操作分為下圖所示的三種情況。
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1. 在 $s[i-1]$ 之後新增 $t[j-1]$ ,則剩餘子問題 $dp[i, j-1]$ 。
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2. 刪除 $s[i-1]$ ,則剩餘子問題 $dp[i-1, j]$ 。
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3. 將 $s[i-1]$ 替換為 $t[j-1]$ ,則剩餘子問題 $dp[i-1, j-1]$ 。
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![編輯距離的狀態轉移](edit_distance_problem.assets/edit_distance_state_transfer.png)
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根據以上分析,可得最優子結構:$dp[i, j]$ 的最少編輯步數等於 $dp[i, j-1]$、$dp[i-1, j]$、$dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少編輯步數,再加上本次的編輯步數 $1$ 。對應的狀態轉移方程為:
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$$
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dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1
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$$
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請注意,**當 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ 相同時,無須編輯當前字元**,這種情況下的狀態轉移方程為:
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$$
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dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
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$$
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**第三步:確定邊界條件和狀態轉移順序**
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當兩字串都為空時,編輯步數為 $0$ ,即 $dp[0, 0] = 0$ 。當 $s$ 為空但 $t$ 不為空時,最少編輯步數等於 $t$ 的長度,即首行 $dp[0, j] = j$ 。當 $s$ 不為空但 $t$ 為空時,最少編輯步數等於 $s$ 的長度,即首列 $dp[i, 0] = i$ 。
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觀察狀態轉移方程,解 $dp[i, j]$ 依賴左方、上方、左上方的解,因此透過兩層迴圈正序走訪整個 $dp$ 表即可。
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### 程式碼實現
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```src
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[file]{edit_distance}-[class]{}-[func]{edit_distance_dp}
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```
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如下圖所示,編輯距離問題的狀態轉移過程與背包問題非常類似,都可以看作填寫一個二維網格的過程。
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=== "<1>"
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![編輯距離的動態規劃過程](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step1.png)
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=== "<2>"
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![edit_distance_dp_step2](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step2.png)
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=== "<3>"
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![edit_distance_dp_step3](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step3.png)
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=== "<4>"
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![edit_distance_dp_step4](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step4.png)
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=== "<5>"
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![edit_distance_dp_step5](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step5.png)
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=== "<6>"
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![edit_distance_dp_step6](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step6.png)
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=== "<7>"
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![edit_distance_dp_step7](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step7.png)
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=== "<8>"
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![edit_distance_dp_step8](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step8.png)
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=== "<9>"
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![edit_distance_dp_step9](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step9.png)
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=== "<10>"
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![edit_distance_dp_step10](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step10.png)
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=== "<11>"
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![edit_distance_dp_step11](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step11.png)
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=== "<12>"
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![edit_distance_dp_step12](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step12.png)
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=== "<13>"
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![edit_distance_dp_step13](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step13.png)
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=== "<14>"
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![edit_distance_dp_step14](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step14.png)
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=== "<15>"
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![edit_distance_dp_step15](edit_distance_problem.assets/edit_distance_dp_step15.png)
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### 空間最佳化
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由於 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$、左方 $dp[i, j-1]$、左上方 $dp[i-1, j-1]$ 轉移而來的,而正序走訪會丟失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ,倒序走訪無法提前構建 $dp[i, j-1]$ ,因此兩種走訪順序都不可取。
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為此,我們可以使用一個變數 `leftup` 來暫存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ,從而只需考慮左方和上方的解。此時的情況與完全背包問題相同,可使用正序走訪。程式碼如下所示:
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```src
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[file]{edit_distance}-[class]{}-[func]{edit_distance_dp_comp}
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```
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