hello-algo/docs/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md

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# 动态规划问题特性
在上节中,我们学习了动态规划问题的暴力解法,从递归树中观察到海量的重叠子问题,以及了解到动态规划是如何通过记录解来优化时间复杂度的。
实际上,动态规划最常用来求解最优方案问题,例如寻找最短路径、最大利润、最少时间等。**这类问题不仅包含重叠子问题,往往还具有另外两大特性:最优子结构、无后效性**。
## 最优子结构
我们对爬楼梯问题稍作改动,使之更加适合展示最优子结构概念。
!!! question "爬楼梯最小代价"
给定一个楼梯,你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶,每一阶楼梯上都贴有一个非负整数,表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 $cost$ ,其中 $cost[i]$ 表示在第 $i$ 个台阶需要付出的代价,$cost[0]$ 为地面起始点。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部?
如下图所示,若第 $1$ , $2$ , $3$ 阶的代价分别为 $1$ , $10$ , $1$ ,则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
2023-07-11 19:23:46 +08:00
![爬到第 3 阶的最小代价](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_example.png)
设 $dp[i]$ 为爬到第 $i$ 阶累计付出的代价,由于第 $i$ 阶只可能从 $i - 1$ 阶或 $i - 2$ 阶走来,因此 $dp[i]$ 只可能等于 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。为了尽可能减少代价,我们应该选择两者中较小的那一个,即:
$$
dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
$$
这便可以引出「最优子结构」的含义:**原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的**。本题显然具有最优子结构:我们从两个子问题最优解 $dp[i-1]$ , $dp[i-2]$ 中挑选出较优的那一个,并用它构建出原问题 $dp[i]$ 的最优解。
那么,上节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢?它要求解的是方案数量,看似是一个计数问题,但如果换一种问法:求解最大方案数量。我们意外地发现,**虽然题目修改前后是等价的,但最优子结构浮现出来了**:第 $n$ 阶最大方案数量等于第 $n-1$ 阶和第 $n-2$ 阶最大方案数量之和。所以说,最优子结构的解释方式比较灵活,在不同问题中会有不同的含义。
根据以上状态转移方程,以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ , $dp[2] = cost[2]$ ,我们可以得出动态规划解题代码。
=== "Java"
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
[class]{min_cost_climbing_stairs_dp}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "C++"
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Python"
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp}
```
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "C"
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "C#"
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
[class]{min_cost_climbing_stairs_dp}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Swift"
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Zig"
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
2023-07-11 19:23:46 +08:00
![爬楼梯最小代价的动态规划过程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
这道题同样也可以进行状态压缩,将一维压缩至零维,使得空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
=== "Java"
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
[class]{min_cost_climbing_stairs_dp}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "C++"
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Python"
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp_comp}
```
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "C"
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "C#"
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
[class]{min_cost_climbing_stairs_dp}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Swift"
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Zig"
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
## 无后效性
「无后效性」是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一,定义为:**给定一个确定的状态,它的未来发展只与当前状态有关,而与当前状态过去所经历过的所有状态无关**。
以爬楼梯问题为例,给定状态 $i$ ,它会发展出状态 $i+1$ 和状态 $i+2$ ,分别对应跳 $1$ 步和跳 $2$ 步。在做出这两种选择时,我们无需考虑状态 $i$ 之前的状态,即它们对状态 $i$ 的未来没有影响。
然而,如果我们向爬楼梯问题添加一个约束,情况就不一样了。
!!! question "带约束爬楼梯"
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯,你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶,**但不能连续两轮跳 $1$ 阶**,请问有多少种方案可以爬到楼顶。
例如,爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案,其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件,因此被舍弃。
2023-07-11 19:23:46 +08:00
![带约束爬到第 3 阶的方案数量](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_example.png)
在该问题中,**下一步选择不能由当前状态(当前楼梯阶数)独立决定,还和前一个状态(上轮楼梯阶数)有关**。如果上一轮是跳 $1$ 阶上来的,那么下一轮就必须跳 $2$ 阶。
不难发现,此问题已不满足无后效性,状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也失效了,因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶,但其中包含了许多“上一轮跳 $1$ 阶上来的”方案,而为了满足约束,我们不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。
为了解决该问题,我们需要扩展状态定义:**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**,其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶,我们可以据此来决定下一步该怎么跳:
- 当 $j$ 等于 $1$ ,即上一轮跳了 $1$ 阶时,这一轮只能选择跳 $2$ 阶;
- 当 $j$ 等于 $2$ ,即上一轮跳了 $2$ 阶时,这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶;
在该定义下,$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。由此,我们便能推导出以下的状态转移方程:
$$
\begin{cases}
dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\
dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
\end{cases}
$$
2023-07-11 19:23:46 +08:00
![考虑约束下的递推关系](dp_problem_features.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png)
最终,返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可,两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_constraint_dp.java"
[class]{climbing_stairs_constraint_dp}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_constraint_dp.cpp"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_constraint_dp.py"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_constraint_dp}
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_constraint_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="climbing_stairs_constraint_dp.js"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="climbing_stairs_constraint_dp.ts"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_constraint_dp.c"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_constraint_dp.cs"
[class]{climbing_stairs_constraint_dp}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_constraint_dp.swift"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_constraint_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
在上面的案例中,由于仅需多考虑前面一个状态,我们仍然可以通过扩展状态定义,使得问题恢复无后效性。然而,许多问题具有非常严重的“有后效性”,例如:
!!! question "爬楼梯与障碍生成"
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯,你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时,系统自动会给第 $2i$ 阶上放上障碍物,之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如,前两轮分别跳到了第 $2, 3$ 阶上,则之后就不能跳到第 $4, 6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。
在这个问题中,下次跳跃依赖于过去所有的状态,因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍,并影响未来的跳跃。对于这类问题,动态规划往往难以解决,或是因为计算复杂度过高而难以应用。
实际上,许多复杂的组合优化问题(例如著名的旅行商问题)都不满足无后效性。对于这类问题,我们通常会选择使用其他方法,例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等,从而降低时间复杂度,在有限时间内得到能够接受的局部最优解。