hello-algo/docs/chapter_backtracking/subset_sum_problem.md

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# 子集和问题
2023-07-21 21:54:51 +08:00
## 无重复元素的情况
!!! question
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ,请找出所有可能的组合,使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素,每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合,列表中不应包含重复组合。
例如,输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ,由于集合中的数字可以被重复选取,因此解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。请注意,子集是不区分元素顺序的,例如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
2023-07-21 21:54:51 +08:00
### 从全排列引出解法
2023-06-22 00:22:15 +08:00
类似于上节全排列问题的解法,我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果,并在选择过程中实时更新“元素和”,当元素和等于 `target` 时,就将子集记录至结果列表。
2023-06-22 00:22:15 +08:00
而与全排列问题不同的是,本题允许重复选取同一元素,因此无需借助 `selected` 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改,初步得到解题代码。
=== "Java"
```java title="subset_sum_i_naive.java"
[class]{subset_sum_i_naive}-[func]{backtrack}
[class]{subset_sum_i_naive}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "C++"
```cpp title="subset_sum_i_naive.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "Python"
```python title="subset_sum_i_naive.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subset_sum_i_naive}
```
=== "Go"
```go title="subset_sum_i_naive.go"
2023-06-25 21:59:44 +08:00
[class]{}-[func]{backtrackSubsetSumINaive}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="subset_sum_i_naive.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="subset_sum_i_naive.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "C"
```c title="subset_sum_i_naive.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "C#"
```csharp title="subset_sum_i_naive.cs"
[class]{subset_sum_i_naive}-[func]{backtrack}
[class]{subset_sum_i_naive}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "Swift"
```swift title="subset_sum_i_naive.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "Zig"
```zig title="subset_sum_i_naive.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "Dart"
```dart title="subset_sum_i_naive.dart"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ,输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集,但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。这是因为搜索过程是区分选择顺序的,如下图所示,先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两种不同的情况。
![子集搜索与越界剪枝](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_naive.png)
2023-07-21 21:54:51 +08:00
### 重复子集剪枝
为了去除重复子集,**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低,因为:
- 当数组元素较多,尤其是当 `target` 较大时,搜索过程会产生大量的重复子集。
- 比较子集(数组)的异同是很耗时的,需要先排序数组,再比较数组中每个元素的异同。
为了达到最佳效率,**我们希望在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察下图,重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的,具体来看:
1. 第一轮和第二轮分别选择 $3$ , $4$ ,会生成包含这两个元素的所有子集,记为 $[3, 4, \cdots]$ 。
2. 若第一轮选择 $4$ **则第二轮应该跳过 $3$** ,因为该选择产生的子集 $[4, 3, \cdots]$ 和 `1.` 中提到的子集完全重复。
3. 同理,若第一轮选择 $5$ **则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ,因为子集 $[5, 3, \cdots]$ 和子集 $[5, 4, \cdots]$ 和之前的子集重复。
![不同选择顺序导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i_pruning.png)
总结来看,给定输入数组 $[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ ,设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \cdots , x_{i_m}]$ ,则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \cdots \leq i_m$ 。**不满足该条件的选择序列都是重复子集**。
2023-07-21 21:54:51 +08:00
### 代码实现
为实现该剪枝,我们初始化变量 `start` ,用于指示遍历起点。**当做出选择 $x_{i}$ 后,设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**,从而完成子集去重。
除此之外,我们还对代码进行了两项优化。首先,我们在开启搜索前将数组 `nums` 排序,在搜索过程中,**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**,因为后边的元素更大,其子集和都一定会超过 `target` 。其次,**我们通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**,当 `target` 等于 $0$ 时记录解,省去了元素和变量 `total`
=== "Java"
```java title="subset_sum_i.java"
[class]{subset_sum_i}-[func]{backtrack}
[class]{subset_sum_i}-[func]{subsetSumI}
```
=== "C++"
```cpp title="subset_sum_i.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "Python"
```python title="subset_sum_i.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subset_sum_i}
```
=== "Go"
```go title="subset_sum_i.go"
2023-06-25 21:59:44 +08:00
[class]{}-[func]{backtrackSubsetSumI}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="subset_sum_i.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="subset_sum_i.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "C"
```c title="subset_sum_i.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "C#"
```csharp title="subset_sum_i.cs"
[class]{subset_sum_i}-[func]{backtrack}
[class]{subset_sum_i}-[func]{subsetSumI}
```
=== "Swift"
```swift title="subset_sum_i.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "Zig"
```zig title="subset_sum_i.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "Dart"
```dart title="subset_sum_i.dart"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
如下图所示,为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
![子集和 I 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
2023-07-21 21:54:51 +08:00
## 考虑重复元素的情况
!!! question
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ,请找出所有可能的组合,使得组合中的元素和等于 `target` 。**给定数组可能包含重复元素,每个元素只可被选择一次**。请以列表形式返回这些组合,列表中不应包含重复组合。
相比于上题,**本题的输入数组可能包含重复元素**,这引入了新的问题。例如,给定数组 $[4, \hat{4}, 5]$ 和目标元素 $9$ ,则现有代码的输出结果为 $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ ,也出现了重复子集。**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。如下图所示,第一轮共有三个选择,其中两个都为 $4$ ,会产生两个重复的搜索分支,从而输出重复子集;同理,第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
![相等元素导致的重复子集](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii_repeat.png)
2023-07-21 21:54:51 +08:00
### 相等元素剪枝
为解决此问题,**我们需要限制相等元素在每一轮中只被选择一次**。实现方式比较巧妙:由于数组是已排序的,因此相等元素都是相邻的。利用该特性,在某轮选择中,若当前元素与其左边元素相等,则说明它已经被选择过,因此直接跳过当前元素。
与此同时,**本题规定数组元素只能被选择一次**。幸运的是,我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束:当做出选择 $x_{i}$ 后,设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样即能去除重复子集,也能避免重复选择相等元素。
2023-07-21 21:54:51 +08:00
### 代码实现
=== "Java"
```java title="subset_sum_ii.java"
[class]{subset_sum_ii}-[func]{backtrack}
[class]{subset_sum_ii}-[func]{subsetSumII}
```
=== "C++"
```cpp title="subset_sum_ii.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "Python"
```python title="subset_sum_ii.py"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subset_sum_ii}
```
=== "Go"
```go title="subset_sum_ii.go"
2023-06-25 21:59:44 +08:00
[class]{}-[func]{backtrackSubsetSumII}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="subset_sum_ii.js"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="subset_sum_ii.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "C"
```c title="subset_sum_ii.c"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "C#"
```csharp title="subset_sum_ii.cs"
[class]{subset_sum_ii}-[func]{backtrack}
[class]{subset_sum_ii}-[func]{subsetSumII}
```
=== "Swift"
```swift title="subset_sum_ii.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "Zig"
```zig title="subset_sum_ii.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "Dart"
```dart title="subset_sum_ii.dart"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程,共包含四种剪枝操作。建议你将图示与代码注释相结合,理解整个搜索过程,以及每种剪枝操作是如何工作的。
![子集和 II 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)