xmengnet/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2024-12-27 14:36:29 +08:00
Code Issues Projects Releases Packages Wiki Activity Actions
hello-algo/zh-Hant/docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md

431 lines
17 KiB
Markdown
Raw Normal View History

build
2024-04-06 03:02:20 +08:00
---
comments: true
---
# 15.3   最大容量問題
!!! question
輸入一個陣列 $ht$ ，其中的每個元素代表一個垂直隔板的高度。陣列中的任意兩個隔板，以及它們之間的空間可以組成一個容器。
容器的容量等於高度和寬度的乘積（面積），其中高度由較短的隔板決定，寬度是兩個隔板的陣列索引之差。
請在陣列中選擇兩個隔板，使得組成的容器的容量最大，返回最大容量。示例如圖 15-7 所示。
![最大容量問題的示例資料](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 15-7 &nbsp; 最大容量問題的示例資料 </p>
容器由任意兩個隔板圍成，**因此本題的狀態為兩個隔板的索引，記為 $[i, j]$** 。
根據題意，容量等於高度乘以寬度，其中高度由短板決定，寬度是兩隔板的陣列索引之差。設容量為 $cap[i, j]$ ，則可得計算公式：
$$
cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
$$
設陣列長度為 $n$ ，兩個隔板的組合數量（狀態總數）為 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 個。最直接地，**我們可以窮舉所有狀態**，從而求得最大容量，時間複雜度為 $O(n^2)$ 。
### 1. &nbsp; 貪婪策略確定
這道題還有更高效率的解法。如圖 15-8 所示，現選取一個狀態 $[i, j]$ ，其滿足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 為短板、$j$ 為長板。
![初始狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 15-8 &nbsp; 初始狀態 </p>
如圖 15-9 所示，**若此時將長板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，則容量一定變小**。
這是因為在移動長板 $j$ 後，寬度 $j-i$ 肯定變小；而高度由短板決定，因此高度只可能不變（ $i$ 仍為短板）或變小（移動後的 $j$ 成為短板）。
![向內移動長板後的狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 15-9 &nbsp; 向內移動長板後的狀態 </p>
反向思考，**我們只有向內收縮短板 $i$ ，才有可能使容量變大**。因為雖然寬度一定變小，**但高度可能會變大**（移動後的短板 $i$ 可能會變長）。例如在圖 15-10 中，移動短板後面積變大。
![向內移動短板後的狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 15-10 &nbsp; 向內移動短板後的狀態 </p>
由此便可推出本題的貪婪策略：初始化兩指標，使其分列容器兩端，每輪向內收縮短板對應的指標，直至兩指標相遇。
圖 15-11 展示了貪婪策略的執行過程。
1. 初始狀態下，指標 $i$ 和 $j$ 分列陣列兩端。
2. 計算當前狀態的容量 $cap[i, j]$ ，並更新最大容量。
3. 比較板 $i$ 和 板 $j$ 的高度，並將短板向內移動一格。
4. 迴圈執行第 `2.` 步和第 `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇時結束。
=== "<1>"
![最大容量問題的貪婪過程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![max_capacity_greedy_step2](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![max_capacity_greedy_step3](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![max_capacity_greedy_step4](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step4.png){ class="animation-figure" }
=== "<5>"
![max_capacity_greedy_step5](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step5.png){ class="animation-figure" }
=== "<6>"
![max_capacity_greedy_step6](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step6.png){ class="animation-figure" }
=== "<7>"
![max_capacity_greedy_step7](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step7.png){ class="animation-figure" }
=== "<8>"
![max_capacity_greedy_step8](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step8.png){ class="animation-figure" }
=== "<9>"
![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 15-11 &nbsp; 最大容量問題的貪婪過程 </p>
### 2. &nbsp; 程式碼實現
程式碼迴圈最多 $n$ 輪，**因此時間複雜度為 $O(n)$** 。
變數 $i$、$j$、$res$ 使用常數大小的額外空間，**因此空間複雜度為 $O(1)$** 。
=== "Python"
```python title="max_capacity.py"
def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
"""最大容量：貪婪"""
# 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
i, j = 0, len(ht) - 1
# 初始最大容量為 0
res = 0
# 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while i < j:
# 更新最大容量
cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
res = max(res, cap)
# 向內移動短板
if ht[i] < ht[j]:
i += 1
else:
j -= 1
return res
```
=== "C++"
```cpp title="max_capacity.cpp"
/* 最大容量：貪婪 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
int i = 0, j = ht.size() - 1;
// 初始最大容量為 0
int res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="max_capacity.java"
/* 最大容量：貪婪 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量為 0
int res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="max_capacity.cs"
/* 最大容量：貪婪 */
int MaxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
int i = 0, j = ht.Length - 1;
// 初始最大容量為 0
int res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.Max(res, cap);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="max_capacity.go"
/* 最大容量：貪婪 */
func maxCapacity(ht []int) int {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
i, j := 0, len(ht)-1
// 初始最大容量為 0
res := 0
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
for i < j {
// 更新最大容量
capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
// 向內移動短板
if ht[i] < ht[j] {
i++
} else {
j--
}
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="max_capacity.swift"
/* 最大容量：貪婪 */
func maxCapacity(ht: [Int]) -> Int {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
var i = ht.startIndex, j = ht.endIndex - 1
// 初始最大容量為 0
var res = 0
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
res = max(res, cap)
// 向內移動短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1
} else {
j -= 1
}
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="max_capacity.js"
/* 最大容量：貪婪 */
function maxCapacity(ht) {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
let i = 0,
j = ht.length - 1;
// 初始最大容量為 0
let res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
const cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="max_capacity.ts"
/* 最大容量：貪婪 */
function maxCapacity(ht: number[]): number {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
let i = 0,
j = ht.length - 1;
// 初始最大容量為 0
let res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
const cap: number = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="max_capacity.dart"
/* 最大容量：貪婪 */
int maxCapacity(List<int> ht) {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量為 0
int res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="max_capacity.rs"
/* 最大容量：貪婪 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
let mut i = 0;
let mut j = ht.len() - 1;
// 初始最大容量為 0
let mut res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
res = std::cmp::max(res, cap);
// 向內移動短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
res
}
```
=== "C"
```c title="max_capacity.c"
/* 最大容量：貪婪 */
int maxCapacity(int ht[], int htLength) {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
int i = 0;
int j = htLength - 1;
// 初始最大容量為 0
int res = 0;
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int capacity = myMin(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = myMax(res, capacity);
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="max_capacity.kt"
/* 最大容量：貪婪 */
fun maxCapacity(ht: IntArray): Int {
// 初始化 i, j，使其分列陣列兩端
var i = 0
var j = ht.size - 1
// 初始最大容量為 0
var res = 0
// 迴圈貪婪選擇，直至兩板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
val cap = (min(ht[i].toDouble(), ht[j].toDouble()) * (j - i)).toInt()
res = max(res.toDouble(), cap.toDouble()).toInt()
// 向內移動短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++
} else {
j--
}
}
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="max_capacity.rb"
[class]{}-[func]{max_capacity}
```
=== "Zig"
```zig title="max_capacity.zig"
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20max_capacity%28ht%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20i,%20j%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E5%85%B6%E5%88%86%E5%88%97%E6%95%B0%E7%BB%84%E4%B8%A4%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28ht%29%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%200%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E8%87%B3%E4%B8%A4%E6%9D%BF%E7%9B%B8%E9%81%87%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20%3D%20min%28ht%5Bi%5D,%20ht%5Bj%5D%29%20*%20%28j%20-%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20max%28res,%20cap%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%90%91%E5%86%85%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E7%9F%AD%E6%9D%BF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ht%5Bi%5D%20%3C%20ht%5Bj%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20ht%20%3D%20%5B3,%208,%205,%202,%207,%207,%203,%204%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%0A%20%20%20%20res%20%3D%20max_capacity%28ht%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20max_capacity%28ht%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%EF%BC%9A%E8%B4%AA%E5%BF%83%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%20i,%20j%EF%BC%8C%E4%BD%BF%E5%85%B6%E5%88%86%E5%88%97%E6%95%B0%E7%BB%84%E4%B8%A4%E7%AB%AF%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28ht%29%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%200%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B4%AA%E5%BF%83%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E8%87%B3%E4%B8%A4%E6%9D%BF%E7%9B%B8%E9%81%87%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cap%20%3D%20min%28ht%5Bi%5D,%20ht%5Bj%5D%29%20*%20%28j%20-%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%3D%20max%28res,%20cap%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%90%91%E5%86%85%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E7%9F%AD%E6%9D%BF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ht%5Bi%5D%20%3C%20ht%5Bj%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20ht%20%3D%20%5B3,%208,%205,%202,%207,%207,%203,%204%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E8%B4%AA%E5%BF%83%E7%AE%97%E6%B3%95%0A%20%20%20%20res%20%3D%20max_capacity%28ht%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%AE%B9%E9%87%8F%E4%B8%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
### 3. &nbsp; 正確性證明
之所以貪婪比窮舉更快，是因為每輪的貪婪選擇都會“跳過”一些狀態。
比如在狀態 $cap[i, j]$ 下，$i$ 為短板、$j$ 為長板。若貪婪地將短板 $i$ 向內移動一格，會導致圖 15-12 所示的狀態被“跳過”。**這意味著之後無法驗證這些狀態的容量大小**。
$$
cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
$$
![移動短板導致被跳過的狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 15-12 &nbsp; 移動短板導致被跳過的狀態 </p>
觀察發現，**這些被跳過的狀態實際上就是將長板 $j$ 向內移動的所有狀態**。前面我們已經證明內移長板一定會導致容量變小。也就是說，被跳過的狀態都不可能是最優解，**跳過它們不會導致錯過最優解**。
以上分析說明，移動短板的操作是“安全”的，貪婪策略是有效的。
Reference in a new issue Copy permalink