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# 11.7.   堆排序

!!! tip

    阅读本节前，请确保已完成堆章节的学习。

「堆排序 Heap Sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序：

1. 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
2. 初始化一个数组 `res` ，用于存储排序结果。
3. 循环执行 $n$ 轮出堆操作，并依次将出堆元素记录至 `res` ，即可得到从小到大排序的序列。

该方法虽然可行，但需要借助一个额外数组，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。设数组的长度为 $n$ ，堆排序的流程如下：

1. 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
2. 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 $1$ ，已排序元素数量加 $1$ 。
3. 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（Sift Down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步。循环 $n - 1$ 轮后，即可完成数组排序。

实际上，元素出堆操作中也包含第 `2.` 和 `3.` 步，只是多了一个弹出元素的步骤。

=== "<1>"
    ![堆排序步骤](heap_sort.assets/heap_sort_step1.png)

=== "<2>"
    ![heap_sort_step2](heap_sort.assets/heap_sort_step2.png)

=== "<3>"
    ![heap_sort_step3](heap_sort.assets/heap_sort_step3.png)

=== "<4>"
    ![heap_sort_step4](heap_sort.assets/heap_sort_step4.png)

=== "<5>"
    ![heap_sort_step5](heap_sort.assets/heap_sort_step5.png)

=== "<6>"
    ![heap_sort_step6](heap_sort.assets/heap_sort_step6.png)

=== "<7>"
    ![heap_sort_step7](heap_sort.assets/heap_sort_step7.png)

=== "<8>"
    ![heap_sort_step8](heap_sort.assets/heap_sort_step8.png)

=== "<9>"
    ![heap_sort_step9](heap_sort.assets/heap_sort_step9.png)

=== "<10>"
    ![heap_sort_step10](heap_sort.assets/heap_sort_step10.png)

=== "<11>"
    ![heap_sort_step11](heap_sort.assets/heap_sort_step11.png)

=== "<12>"
    ![heap_sort_step12](heap_sort.assets/heap_sort_step12.png)

在代码实现中，我们使用了与堆章节相同的从顶至底堆化（Sift Down）的函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 Sift Down 函数添加一个长度参数 $n$ ，用于指定堆的当前有效长度。

=== "Java"

    ```java title="heap_sort.java"
    /* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
    void siftDown(int[] nums, int n, int i) {
        while (true) {
            // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
            int l = 2 * i + 1;
            int r = 2 * i + 2;
            int ma = i;
            if (l < n && nums[l] > nums[ma])
                ma = l;
            if (r < n && nums[r] > nums[ma])
                ma = r;
            // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
            if (ma == i)
                break;
            // 交换两节点
            int temp = nums[i];
            nums[i] = nums[ma];
            nums[ma] = temp;
            // 循环向下堆化
            i = ma;
        }
    }

    /* 堆排序 */
    void heapSort(int[] nums) {
        // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (int i = nums.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            siftDown(nums, nums.length, i);
        }
        // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
        for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
            // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
            int tmp = nums[0];
            nums[0] = nums[i];
            nums[i] = tmp;
            // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
            siftDown(nums, i, 0);
        }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="heap_sort.cpp"
    /* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
    void siftDown(vector<int> &nums, int n, int i) {
        while (true) {
            // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
            int l = 2 * i + 1;
            int r = 2 * i + 2;
            int ma = i;
            if (l < n && nums[l] > nums[ma])
                ma = l;
            if (r < n && nums[r] > nums[ma])
                ma = r;
            // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
            if (ma == i) {
                break;
            }
            // 交换两节点
            swap(nums[i], nums[ma]);
            // 循环向下堆化
            i = ma;
        }
    }

    /* 堆排序 */
    void heapSort(vector<int> &nums) {
        // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i) {
            siftDown(nums, nums.size(), i);
        }
        // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
        for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
            // 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
            swap(nums[0], nums[i]);
            // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
            siftDown(nums, i, 0);
        }
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="heap_sort.py"
    def sift_down(nums: list[int], n: int, i: int):
        """堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
        while True:
            # 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
            l = 2 * i + 1
            r = 2 * i + 2
            ma = i
            if l < n and nums[l] > nums[ma]:
                ma = l
            if r < n and nums[r] > nums[ma]:
                ma = r
            # 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
            if ma == i:
                break
            # 交换两节点
            nums[i], nums[ma] = nums[ma], nums[i]
            # 循环向下堆化
            i = ma

    def heap_sort(nums: list[int]):
        """堆排序"""
        # 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
        for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
            sift_down(nums, len(nums), i)
        # 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
        for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
            # 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
            nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
            # 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
            sift_down(nums, i, 0)
    ```

=== "Go"

    ```go title="heap_sort.go"
    [class]{}-[func]{siftDown}

    [class]{}-[func]{heapSort}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="heap_sort.js"
    [class]{}-[func]{siftDown}

    [class]{}-[func]{heapSort}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="heap_sort.ts"
    [class]{}-[func]{siftDown}

    [class]{}-[func]{heapSort}
    ```

=== "C"

    ```c title="heap_sort.c"
    [class]{}-[func]{siftDown}

    [class]{}-[func]{heapSort}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="heap_sort.cs"
    [class]{heap_sort}-[func]{siftDown}

    [class]{heap_sort}-[func]{heapSort}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="heap_sort.swift"
    [class]{}-[func]{siftDown}

    [class]{}-[func]{heapSort}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="heap_sort.zig"
    [class]{}-[func]{siftDown}

    [class]{}-[func]{heapSort}
    ```

## 11.7.1. &nbsp; 算法特性

- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。
- **空间复杂度 $O(1)$ 、原地排序** ：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
- **非稳定排序**：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。