xmengnet/hello-algo
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hello-algo/docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md

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2023-10-06 13:31:21 +08:00
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comments: true
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# 15.4   最大切分乘积问题
!!! question
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少，如图 15-13 所示。
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
build
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png){ class="animation-figure" }
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 15-13 &nbsp; 最大切分乘积的问题定义 </p>
假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即
$$
n = \sum_{i=1}^{m}n_i
$$
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
本题的目标是求得所有整数因子的最大乘积，即
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
$$
\max(\prod_{i=1}^{m}n_i)
$$
我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？
### 1. &nbsp; 贪心策略确定
根据经验，两个整数的乘积往往比它们的加和更大。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较：
$$
\begin{aligned}
2(n-2) & \geq n \newline
2n - n - 4 & \geq 0 \newline
n & \geq 4
\end{aligned}
$$
如图 15-14 所示，当 $n \geq 4$ 时，切分出一个 $2$ 后乘积会变大，**这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分**。
**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$、$2$、$3$ 这三种因子。
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2023-11-09 05:13:48 +08:00
![切分导致乘积变大](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer1.png){ class="animation-figure" }
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 15-14 &nbsp; 切分导致乘积变大 </p>
接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$、$2$、$3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立，即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。
如图 15-15 所示，当 $n = 6$ 时，有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。**这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优**。
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
**贪心策略二**：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以替换为两个 $3$ ，从而获得更大的乘积。
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
build
2023-11-09 05:13:48 +08:00
![最优切分因子](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer2.png){ class="animation-figure" }
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 15-15 &nbsp; 最优切分因子 </p>
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
综上所述，可推理出以下贪心策略。
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
1. 输入整数 $n$ ，从其不断地切分出因子 $3$ ，直至余数为 $0$、$1$、$2$ 。
2. 当余数为 $0$ 时，代表 $n$ 是 $3$ 的倍数，因此不做任何处理。
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2023-12-28 17:18:37 +08:00
3. 当余数为 $2$ 时，不继续划分，保留。
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
4. 当余数为 $1$ 时，由于 $2 \times 2 > 1 \times 3$ ，因此应将最后一个 $3$ 替换为 $2$ 。
### 2. &nbsp; 代码实现
如图 15-16 所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 $3$ 的个数 $a$ ，用取模运算得到余数 $b$ ，此时有：
$$
n = 3 a + b
$$
请注意，对于 $n \leq 3$ 的边界情况，必须拆分出一个 $1$ ，乘积为 $1 \times (n - 1)$ 。
=== "Python"
```python title="max_product_cutting.py"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
def max_product_cutting(n: int) -> int:
"""最大切分乘积：贪心"""
# 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3:
return 1 * (n - 1)
# 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
a, b = n // 3, n % 3
if b == 1:
# 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return int(math.pow(3, a - 1)) * 2 * 2
if b == 2:
# 当余数为 2 时，不做处理
return int(math.pow(3, a)) * 2
# 当余数为 0 时，不做处理
return int(math.pow(3, a))
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C++"
```cpp title="max_product_cutting.cpp"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (int)pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return (int)pow(3, a);
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Java"
```java title="max_product_cutting.java"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (int) Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (int) Math.pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return (int) Math.pow(3, a);
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C#"
```csharp title="max_product_cutting.cs"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
build
2023-10-08 01:43:28 +08:00
int MaxProductCutting(int n) {
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (int)Math.Pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (int)Math.Pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return (int)Math.Pow(3, a);
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Go"
```go title="max_product_cutting.go"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
func maxProductCutting(n int) int {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3 {
return 1 * (n - 1)
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
a := n / 3
b := n % 3
if b == 1 {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return int(math.Pow(3, float64(a-1))) * 2 * 2
}
if b == 2 {
// 当余数为 2 时，不做处理
return int(math.Pow(3, float64(a))) * 2
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return int(math.Pow(3, float64(a)))
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Swift"
```swift title="max_product_cutting.swift"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
func maxProductCutting(n: Int) -> Int {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3 {
return 1 * (n - 1)
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a = n / 3
let b = n % 3
if b == 1 {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return pow(3, a - 1) * 2 * 2
}
if b == 2 {
// 当余数为 2 时，不做处理
return pow(3, a) * 2
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return pow(3, a)
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "JS"
```javascript title="max_product_cutting.js"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
function maxProductCutting(n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a = Math.floor(n / 3);
let b = n % 3;
if (b === 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b === 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return Math.pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return Math.pow(3, a);
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "TS"
```typescript title="max_product_cutting.ts"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
function maxProductCutting(n: number): number {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a: number = Math.floor(n / 3);
let b: number = n % 3;
if (b === 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b === 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return Math.pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return Math.pow(3, a);
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Dart"
```dart title="max_product_cutting.dart"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n ~/ 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return (pow(3, a - 1) * 2 * 2).toInt();
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return (pow(3, a) * 2).toInt();
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return pow(3, a).toInt();
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Rust"
```rust title="max_product_cutting.rs"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
fn max_product_cutting(n: i32) -> i32 {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3 {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a = n / 3;
let b = n % 3;
if b == 1 {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
3_i32.pow(a as u32 - 1) * 2 * 2
} else if b == 2 {
// 当余数为 2 时，不做处理
3_i32.pow(a as u32) * 2
} else {
// 当余数为 0 时，不做处理
3_i32.pow(a as u32)
}
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "C"
```c title="max_product_cutting.c"
build
2023-10-06 14:10:18 +08:00
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if (n <= 3) {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
int a = n / 3;
int b = n % 3;
if (b == 1) {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
return pow(3, a - 1) * 2 * 2;
}
if (b == 2) {
// 当余数为 2 时，不做处理
return pow(3, a) * 2;
}
// 当余数为 0 时，不做处理
return pow(3, a);
}
build
2023-10-06 13:31:21 +08:00
```
=== "Zig"
```zig title="max_product_cutting.zig"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```
build
2024-01-07 23:42:54 +08:00
??? pythontutor "可视化运行"
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2023-11-09 05:13:48 +08:00
![最大切分乘积的计算方法](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_calculation.png){ class="animation-figure" }
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
<p align="center"> 图 15-16 &nbsp; 最大切分乘积的计算方法 </p>
**时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法**。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种。
- 运算符 `**` 和函数 `pow()` 的时间复杂度均为 $O(\log⁡ a)$ 。
- 函数 `math.pow()` 内部调用 C 语言库的 `pow()` 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 $O(1)$ 。
变量 $a$ 和 $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
### 3. &nbsp; 正确性证明
使用反证法，只分析 $n \geq 3$ 的情况。
1. **所有因子 $\leq 3$** ：假设最优切分方案中存在 $\geq 4$ 的因子 $x$ ，那么一定可以将其继续划分为 $2(x-2)$ ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
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2023-12-02 06:24:05 +08:00
2. **切分方案不包含 $1$** ：假设最优切分方案中存在一个因子 $1$ ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获得更大的乘积。这与假设矛盾。
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2023-10-06 13:31:21 +08:00
3. **切分方案最多包含两个 $2$** ：假设最优切分方案中包含三个 $2$ ，那么一定可以替换为两个 $3$ ，乘积更大。这与假设矛盾。
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