hello-algo/chapter_graph/graph_traversal.md

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# 9.3. 图的遍历

!!! note "图与树的关系"

    树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。

「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。

类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。

## 9.3.1. 广度优先遍历

**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……

![graph_bfs](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)

### 算法实现

BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。

1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环；
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。

=== "Java"

    ```java title="graph_bfs.java"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
        // 顶点遍历序列
        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
        // 队列用于实现 BFS
        Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (!que.isEmpty()) {
            Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
            res.add(vet);            // 记录访问顶点
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
                if (visited.contains(adjVet))
                    continue;        // 跳过已被访问过的顶点
                que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
                visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="graph_bfs.cpp"

    ```

=== "Python"

    ```python title="graph_bfs.py"

    ```

=== "Go"

    ```go title="graph_bfs.go"

    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="graph_bfs.js"

    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="graph_bfs.ts"

    ```

=== "C"

    ```c title="graph_bfs.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="graph_bfs.cs"

    ```

=== "Swift"

    ```swift title="graph_bfs.swift"

    ```

=== "Zig"

    ```zig title="graph_bfs.zig"

    ```

代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。

=== "Step 1"
    ![graph_bfs_step1](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)

=== "Step 2"
    ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png)

=== "Step 3"
    ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png)

=== "Step 4"
    ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png)

=== "Step 5"
    ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png)

=== "Step 6"
    ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png)

=== "Step 7"
    ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png)

=== "Step 8"
    ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png)

=== "Step 9"
    ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png)

=== "Step 10"
    ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png)

=== "Step 11"
    ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)

!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"

    不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，而相同距离的多个顶点的遍历顺序允许任意被打乱。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……

### 复杂度分析

**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。

**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。

## 9.3.2. 深度优先遍历

**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。

![graph_dfs](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)

### 算法实现

这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

=== "Java"

    ```java title="graph_dfs.java"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
        res.add(vet);     // 记录访问顶点
        visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet);
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
        // 顶点遍历序列
        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
        dfs(graph, visited, res, startVet);
        return res;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="graph_dfs.cpp"

    ```

=== "Python"

    ```python title="graph_dfs.py"

    ```

=== "Go"

    ```go title="graph_dfs.go"

    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="graph_dfs.js"

    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="graph_dfs.ts"

    ```

=== "C"

    ```c title="graph_dfs.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="graph_dfs.cs"

    ```

=== "Swift"

    ```swift title="graph_dfs.swift"

    ```

=== "Zig"

    ```zig title="graph_dfs.zig"

    ```

深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中

- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；

为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

=== "Step 1"
    ![graph_dfs_step1](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)

=== "Step 2"
    ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png)

=== "Step 3"
    ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png)

=== "Step 4"
    ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png)

=== "Step 5"
    ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png)

=== "Step 6"
    ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png)

=== "Step 7"
    ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png)

=== "Step 8"
    ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png)

=== "Step 9"
    ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png)

=== "Step 10"
    ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png)

=== "Step 11"
    ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)

!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"

    与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
    
    以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。

### 复杂度分析

**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。

**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。