hello-algo/docs/chapter_sorting/radix_sort.md

138 lines
4.1 KiB
Markdown
Raw Normal View History

2023-03-26 22:02:37 +08:00
# 基数排序
上节介绍的计数排序适用于数据量 $n$ 大但数据范围 $m$ 不大的情况。假设需要排序 $n = 10^6$ 个学号数据,学号是 $8$ 位数字,那么数据范围 $m = 10^8$ 很大,使用计数排序则需要开辟巨大的内存空间,而基数排序则可以避免这种情况。
「基数排序 Radix Sort」主体思路与计数排序一致也通过统计出现次数实现排序**并在此基础上利用位与位之间的递进关系,依次对每一位执行排序**,从而获得排序结果。
## 算法流程
以上述的学号数据为例,设数字最低位为第 $1$ 位、最高位为第 $8$ 位,基数排序的流程为:
1. 初始化位数 $k = 1$
2. 对学号的第 $k$ 位执行「计数排序」,完成后,数据即按照第 $k$ 位从小到大排序;
3. 将 $k$ 自增 $1$ ,并返回第 `2.` 步继续迭代,直至排序完所有位后结束;
![基数排序算法流程](radix_sort.assets/radix_sort_overview.png)
下面来剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ,其第 $k$ 位 $x_k$ 的计算公式为
$$
x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \mod d
$$
其中 $\lfloor a \rfloor$ 代表对浮点数 $a$ 执行向下取整,$\mod d$ 代表对 $d$ 取余。学号数据的 $d = 10$ , $k \in [1, 8]$ 。
此外,我们需要小幅改动计数排序代码,使之可以根据数字第 $k$ 位执行排序。
=== "Java"
```java title="radix_sort.java"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}
[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}
[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```
=== "C++"
```cpp title="radix_sort.cpp"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Python"
```python title="radix_sort.py"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{counting_sort_digit}
[class]{}-[func]{radix_sort}
```
=== "Go"
```go title="radix_sort.go"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="radix_sort.js"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="radix_sort.ts"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "C"
```c title="radix_sort.c"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "C#"
```csharp title="radix_sort.cs"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}
[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}
[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```
=== "Swift"
```swift title="radix_sort.swift"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
=== "Zig"
```zig title="radix_sort.zig"
[class]{}-[func]{digit}
[class]{}-[func]{countingSortDigit}
[class]{}-[func]{radixSort}
```
!!! question "为什么从最低位开始排序?"
对于先后两轮排序,第二轮排序可能会覆盖第一轮排序的结果,比如第一轮认为 $a < b$ 而第二轮认为 $a > b$ ,则第二轮会取代第一轮的结果。由于数字高位比低位的优先级更高,所以要先排序低位再排序高位。
## 算法特性
**时间复杂度 $O(n k)$** :设数据量为 $n$ 、数据为 $d$ 进制、最大为 $k$ 位,则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间,排序 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间;一般情况下 $d$ 和 $k$ 都比较小,此时时间复杂度近似为 $O(n)$ 。
**空间复杂度 $O(n + d)$** :与计数排序一样,借助了长度分别为 $n$ , $d$ 的数组 `res``counter` ,因此是“非原地排序”。
与计数排序一致,基数排序也是稳定排序。相比于计数排序,基数排序可适用于数值范围较大的情况,**但前提是数据必须可以被表示为固定位数的格式,且位数不能太大**。比如浮点数就不适合使用基数排序,因为其位数 $k$ 太大,可能时间复杂度 $O(nk) \gg O(n^2)$ 。