hello-algo/docs/chapter_graph/graph_operations.md

---
comments: true
---

# 9.2. 图基础操作

图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。

## 9.2.1. 基于邻接矩阵的实现

设图的顶点总数为 $n$ ，则有：

- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
- **删除顶点**：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。
- **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。

=== "初始化邻接矩阵"
    ![adjacency_matrix_initialization](graph_operations.assets/adjacency_matrix_initialization.png)

=== "添加边"
    ![adjacency_matrix_add_edge](graph_operations.assets/adjacency_matrix_add_edge.png)

=== "删除边"
    ![adjacency_matrix_remove_edge](graph_operations.assets/adjacency_matrix_remove_edge.png)

=== "添加顶点"
    ![adjacency_matrix_add_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_add_vertex.png)

=== "删除顶点"
    ![adjacency_matrix_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_matrix_remove_vertex.png)

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。

=== "Java"

    ```java title="graph_adjacency_matrix.java"
    [class]{GraphAdjMat}-[func]{}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp"

    ```

=== "Python"

    ```python title="graph_adjacency_matrix.py"

    ```

=== "Go"

    ```go title="graph_adjacency_matrix.go"
    /* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
    type graphAdjMat struct {
        // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
        vertices []int
        // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
        adjMat [][]int
    }

    func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {
        // 添加顶点
        n := len(vertices)
        adjMat := make([][]int, n)
        for i := range adjMat {
            adjMat[i] = make([]int, n)
        }
        // 初始化图
        g := &graphAdjMat{
            vertices: vertices,
            adjMat:   adjMat,
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for i := range edges {
            g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])
        }
        return g
    }

    /* 获取顶点数量 */
    func (g *graphAdjMat) size() int {
        return len(g.vertices)
    }

    /* 添加顶点 */
    func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {
        n := g.size()
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        g.vertices = append(g.vertices, val)
        // 在邻接矩阵中添加一行
        newRow := make([]int, n)
        g.adjMat = append(g.adjMat, newRow)
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for i := range g.adjMat {
            g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {
        if index >= g.size() {
            return
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for i := range g.adjMat {
            g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {
        // 索引越界与相等处理
        if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
            fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        g.adjMat[i][j] = 1
        g.adjMat[j][i] = 1
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {
        // 索引越界与相等处理
        if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
            fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
        }
        g.adjMat[i][j] = 0
        g.adjMat[j][i] = 0
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="graph_adjacency_matrix.js"

    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts"

    ```

=== "C"

    ```c title="graph_adjacency_matrix.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs"

    ```

=== "Swift"

    ```swift title="graph_adjacency_matrix.swift"
    /* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
    class GraphAdjMat {
        private var vertices: [Int] // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
        private var adjMat: [[Int]] // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

        /* 构造函数 */
        init(vertices: [Int], edges: [[Int]]) {
            self.vertices = []
            adjMat = []
            // 添加顶点
            for val in vertices {
                addVertex(val: val)
            }
            // 添加边
            // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
            for e in edges {
                addEdge(i: e[0], j: e[1])
            }
        }

        /* 获取顶点数量 */
        func size() -> Int {
            vertices.count
        }

        /* 添加顶点 */
        func addVertex(val: Int) {
            let n = size()
            // 向顶点列表中添加新顶点的值
            vertices.append(val)
            // 在邻接矩阵中添加一行
            let newRow = Array(repeating: 0, count: n)
            adjMat.append(newRow)
            // 在邻接矩阵中添加一列
            for i in adjMat.indices {
                adjMat[i].append(0)
            }
        }

        /* 删除顶点 */
        func removeVertex(index: Int) {
            if index >= size() {
                fatalError("越界")
            }
            // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
            vertices.remove(at: index)
            // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
            adjMat.remove(at: index)
            // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
            for i in adjMat.indices {
                adjMat[i].remove(at: index)
            }
        }

        /* 添加边 */
        // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
        func addEdge(i: Int, j: Int) {
            // 索引越界与相等处理
            if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
                fatalError("越界")
            }
            // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
            adjMat[i][j] = 1
            adjMat[j][i] = 1
        }

        /* 删除边 */
        // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
        func removeEdge(i: Int, j: Int) {
            // 索引越界与相等处理
            if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
                fatalError("越界")
            }
            adjMat[i][j] = 0
            adjMat[j][i] = 0
        }
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"

    ```

## 9.2.2. 基于邻接表的实现

设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：

- **添加边**：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- **删除边**：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
- **删除顶点**：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n + m)$ 时间。
- **初始化**：需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。

=== "初始化邻接表"
    ![adjacency_list_initialization](graph_operations.assets/adjacency_list_initialization.png)

=== "添加边"
    ![adjacency_list_add_edge](graph_operations.assets/adjacency_list_add_edge.png)

=== "删除边"
    ![adjacency_list_remove_edge](graph_operations.assets/adjacency_list_remove_edge.png)

=== "添加顶点"
    ![adjacency_list_add_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_add_vertex.png)

=== "删除顶点"
    ![adjacency_list_remove_vertex](graph_operations.assets/adjacency_list_remove_vertex.png)

基于邻接表实现图的代码如下所示。

=== "Java"

    ```java title="graph_adjacency_list.java"
    [class]{Vertex}-[func]{}

    [class]{GraphAdjList}-[func]{}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"

    ```

=== "Python"

    ```python title="graph_adjacency_list.py"

    ```

=== "Go"

    ```go title="graph_adjacency_list.go"
    /* 顶点类 */
    type vertex struct {
        val int
    }

    func newVertex(val int) vertex {
        return vertex{
            val: val,
        }
    }

    /* 基于邻接表实现的无向图类 */
    type graphAdjList struct {
        // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
        // 邻接表（使用哈希表实现）, 使用哈希表模拟集合
        adjList map[vertex]map[vertex]struct{}
    }

    /* 构造函数 */
    func newGraphAdjList(edges [][]vertex) *graphAdjList {
        g := &graphAdjList{
            adjList: make(map[vertex]map[vertex]struct{}),
        }
        // 添加所有顶点和边
        for _, edge := range edges {
            g.addVertex(edge[0])
            g.addVertex(edge[1])
            g.addEdge(edge[0], edge[1])
        }
        return g
    }

    /* 获取顶点数量 */
    func (g *graphAdjList) size() int {
        return len(g.adjList)
    }

    /* 添加边 */
    func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {
        _, ok1 := g.adjList[vet1]
        _, ok2 := g.adjList[vet2]
        if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
            panic("error")
        }
        // 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{},
        g.adjList[vet1][vet2] = struct{}{}
        g.adjList[vet2][vet1] = struct{}{}
    }

    /* 删除边 */
    func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {
        _, ok1 := g.adjList[vet1]
        _, ok2 := g.adjList[vet2]
        if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
            panic("error")
        }
        // 删除边 vet1 - vet2, 借助 delete 来删除 map 中的键
        delete(g.adjList[vet1], vet2)
        delete(g.adjList[vet2], vet1)
    }

    /* 添加顶点 */
    func (g *graphAdjList) addVertex(vet vertex) {
        _, ok := g.adjList[vet]
        if ok {
            return
        }
        // 在邻接表中添加一个新链表（即 set）
        g.adjList[vet] = make(map[vertex]struct{})
    }

    /* 删除顶点 */
    func (g *graphAdjList) removeVertex(vet vertex) {
        _, ok := g.adjList[vet]
        if !ok {
            panic("error")
        }
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        delete(g.adjList, vet)
        // 遍历其它顶点的链表（即 Set），删除所有包含 vet 的边
        for _, set := range g.adjList {
            // 操作
            delete(set, vet)
        }
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="graph_adjacency_list.js"

    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="graph_adjacency_list.ts"

    ```

=== "C"

    ```c title="graph_adjacency_list.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="graph_adjacency_list.cs"

    ```

=== "Swift"

    ```swift title="graph_adjacency_list.swift"
    /* 顶点类 */
    class Vertex: Hashable {
        var val: Int

        init(val: Int) {
            self.val = val
        }

        static func == (lhs: Vertex, rhs: Vertex) -> Bool {
            lhs.val == rhs.val
        }

        func hash(into hasher: inout Hasher) {
            hasher.combine(val)
        }
    }

    /* 基于邻接表实现的无向图类 */
    class GraphAdjList {
        // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
        private var adjList: [Vertex: Set<Vertex>] // 邻接表（使用哈希表实现）

        init(edges: [[Vertex]]) {
            adjList = [:]
            // 添加所有顶点和边
            for edge in edges {
                addVertex(vet: edge[0])
                addVertex(vet: edge[1])
                addEdge(vet1: edge[0], vet2: edge[1])
            }
        }

        /* 获取顶点数量 */
        func size() -> Int {
            adjList.count
        }

        /* 添加边 */
        func addEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
            if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
                fatalError("参数错误")
            }
            // 添加边 vet1 - vet2
            adjList[vet1]?.insert(vet2)
            adjList[vet2]?.insert(vet1)
        }

        /* 删除边 */
        func removeEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
            if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
                fatalError("参数错误")
            }
            // 删除边 vet1 - vet2
            adjList[vet1]?.remove(vet2)
            adjList[vet2]?.remove(vet1)
        }

        /* 添加顶点 */
        func addVertex(vet: Vertex) {
            if adjList[vet] != nil {
                return
            }
            // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
            adjList[vet] = []
        }

        /* 删除顶点 */
        func removeVertex(vet: Vertex) {
            if adjList[vet] == nil {
                fatalError("参数错误")
            }
            // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
            adjList.removeValue(forKey: vet)
            // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
            for key in adjList.keys {
                adjList[key]?.remove(vet)
            }
        }
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="graph_adjacency_list.zig"

    ```

## 9.2.3. 效率对比

设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。

<div class="center-table" markdown>

|              | 邻接矩阵 | 邻接表（链表） | 邻接表（哈希表） |
| ------------ | -------- | -------------- | ---------------- |
| 判断是否邻接 | $O(1)$   | $O(m)$         | $O(1)$           |
| 添加边       | $O(1)$   | $O(1)$         | $O(1)$           |
| 删除边       | $O(1)$   | $O(m)$         | $O(1)$           |
| 添加顶点     | $O(n)$   | $O(1)$         | $O(1)$           |
| 删除顶点     | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n)$           |
| 内存空间占用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$     | $O(n + m)$       |

</div>

观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，**邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”**。