hello-algo/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md

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# 2.4. 权衡时间与空间

理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能够达到最优，而实际上，同时优化时间复杂度和空间复杂度是非常困难的。

**降低时间复杂度，往往是以提升空间复杂度为代价的，反之亦然**。我们把牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，称之为「以时间换空间」。选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。

大多数情况下，时间都是比空间更宝贵的，只要空间复杂度不要太离谱、能接受就行，**因此以空间换时间最为常用**。

## 2.4.1. 示例题目 *

以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。

!!! question "两数之和"

    给定一个整数数组 `nums` 和一个整数目标值 `target` ，请你在该数组中找出“和”为目标值 `target` 的那两个整数，并返回它们的数组下标。
    
    你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
    
    你可以按任意顺序返回答案。

「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别为 **空间最优** 和 **时间最优** 的两种解法。本着时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。

### 方法一：暴力枚举

时间复杂度 $O(N^2)$ ，空间复杂度 $O(1)$ ，属于「时间换空间」。

虽然仅使用常数大小的额外空间，但运行速度过慢。

=== "Java"

    ```java title="leetcode_two_sum.java"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    class SolutionBruteForce {
        public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
            int size = nums.length;
            // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
            for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
                for (int j = i + 1; j < size; j++) {
                    if (nums[i] + nums[j] == target)
                        return new int[] { i, j };
                }
            }
            return new int[0];
        }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    class SolutionBruteForce {
    public:
        vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
            int size = nums.size();
            // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
            for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
                for (int j = i + 1; j < size; j++) {
                    if (nums[i] + nums[j] == target)
                        return { i, j };
                }
            }
            return {};
        }
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title="leetcode_two_sum.py"
    """ 方法一：暴力枚举 """
    class SolutionBruteForce:
        def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
            # 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
            for i in range(len(nums) - 1):
                for j in range(i + 1, len(nums)):
                    if nums[i] + nums[j] == target:
                        return i, j
            return []
    ```

=== "Go"

    ```go title="leetcode_two_sum.go"
    func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {
        size := len(nums)
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for i := 0; i < size-1; i++ {
            for j := i + 1; i < size; j++ {
                if nums[i]+nums[j] == target {
                    return []int{i, j}
                }
            }
        }
        return nil
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="leetcode_two_sum.js"
    function twoSumBruteForce(nums, target) {
        const n = nums.length;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = i + 1; j < n; j++) {
                if (nums[i] + nums[j] === target) {
                    return [i, j];
                }
            }
        }
        return [];
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
    function twoSumBruteForce(nums: number[], target: number): number[] {
        const n = nums.length;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = i + 1; j < n; j++) {
                if (nums[i] + nums[j] === target) {
                    return [i, j];
                }
            }
        }
        return [];
    };
    ```

=== "C"

    ```c title="leetcode_two_sum.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
    class SolutionBruteForce
    {
        public int[] twoSum(int[] nums, int target)
        {
            int size = nums.Length;
            // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
            for (int i = 0; i < size - 1; i++)
            {
                for (int j = i + 1; j < size; j++)
                {
                    if (nums[i] + nums[j] == target)
                        return new int[] { i, j };
                }
            }
            return new int[0];
        }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="leetcode_two_sum.swift"
    func twoSumBruteForce(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for i in nums.indices.dropLast() {
            for j in nums.indices.dropFirst(i + 1) {
                if nums[i] + nums[j] == target {
                    return [i, j]
                }
            }
        }
        return [0]
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="leetcode_two_sum.zig"
    const SolutionBruteForce = struct {
        pub fn twoSum(self: *SolutionBruteForce, nums: []i32, target: i32) [2]i32 {
            _ = self;
            var size: usize = nums.len;
            var i: usize = 0;
            // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
            while (i < size - 1) : (i += 1) {
                var j = i + 1;
                while (j < size) : (j += 1) {
                    if (nums[i] + nums[j] == target) {
                        return [_]i32{@intCast(i32, i), @intCast(i32, j)};
                    }
                }
            }
            return undefined;
        }
    };
    ```

### 方法二：辅助哈希表

时间复杂度 $O(N)$ ，空间复杂度 $O(N)$ ，属于「空间换时间」。

借助辅助哈希表 dic ，通过保存数组元素与索引的映射来提升算法运行速度。

=== "Java"

    ```java title="leetcode_two_sum.java"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    class SolutionHashMap {
        public int[] twoSum(int[] nums, int target) {
            int size = nums.length;
            // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
            Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
            // 单层循环，时间复杂度 O(n)
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
                    return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
                }
                dic.put(nums[i], i);
            }
            return new int[0];
        }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    class SolutionHashMap {
    public:
        vector<int> twoSum(vector<int>& nums, int target) {
            int size = nums.size();
            // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
            unordered_map<int, int> dic;
            // 单层循环，时间复杂度 O(n)
            for (int i = 0; i < size; i++) {
                if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
                    return { dic[target - nums[i]], i };
                }
                dic.emplace(nums[i], i);
            }
            return {};
        }
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title="leetcode_two_sum.py"
    """ 方法二：辅助哈希表 """
    class SolutionHashMap:
        def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
            # 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
            dic = {}
            # 单层循环，时间复杂度 O(n)
            for i in range(len(nums)):
                if target - nums[i] in dic:
                    return dic[target - nums[i]], i
                dic[nums[i]] = i
            return []
    ```

=== "Go"

    ```go title="leetcode_two_sum.go"
    func twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        hashTable := map[int]int{}
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for idx, val := range nums {
            if preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {
                return []int{preIdx, idx}
            }
            hashTable[val] = idx
        }
        return nil
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="leetcode_two_sum.js"
    function twoSumHashTable(nums, target) {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        let m = {};
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (m[nums[i]] !== undefined) {
                return [m[nums[i]], i];
            } else {
                m[target - nums[i]] = i;
            }
        }
        return [];
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
    function twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        let m: Map<number, number> = new Map();
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            let index = m.get(nums[i]);
            if (index !== undefined) {
                return [index, i];
            } else {
                m.set(target - nums[i], i);
            }
        }
        return [];
    };
    ```

=== "C"

    ```c title="leetcode_two_sum.c"

    ```

=== "C#"

    ```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
    class SolutionHashMap
    {
        public int[] twoSum(int[] nums, int target)
        {
            int size = nums.Length;
            // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
            Dictionary<int, int> dic = new();
            // 单层循环，时间复杂度 O(n)
            for (int i = 0; i < size; i++)
            {
                if (dic.ContainsKey(target - nums[i]))
                {
                    return new int[] { dic[target - nums[i]], i };
                }
                dic.Add(nums[i], i);
            }
            return new int[0];
        }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="leetcode_two_sum.swift"
    func twoSumHashTable(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        var dic: [Int: Int] = [:]
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for i in nums.indices {
            if let j = dic[target - nums[i]] {
                return [j, i]
            }
            dic[nums[i]] = i
        }
        return [0]
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="leetcode_two_sum.zig"
    const SolutionHashMap = struct {
        pub fn twoSum(self: *SolutionHashMap, nums: []i32, target: i32) ![2]i32 {
            _ = self;
            var size: usize = nums.len;
            // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
            var dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);
            defer dic.deinit();
            var i: usize = 0;
            // 单层循环，时间复杂度 O(n)
            while (i < size) : (i += 1) {
                if (dic.contains(target - nums[i])) {
                    return [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i32, i)};
                }
                try dic.put(nums[i], @intCast(i32, i));
            }
            return undefined;
        }
    };
    ```