hello-algo/docs/chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md

---
comments: true
---

# 12.2   分治搜索策略

我们已经学过，搜索算法分为两大类。

- **暴力搜索**：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 $O(n)$ 。
- **自适应搜索**：它利用特有的数据组织形式或先验信息，时间复杂度可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 。

实际上，**时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常是基于分治策略实现的**，例如二分查找和树。

- 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
- 树是分治思想的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。

二分查找的分治策略如下所示。

- **问题可以分解**：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
- **子问题是独立的**：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受其他子问题的影响。
- **子问题的解无须合并**：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。

分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，**而分治搜索每轮可以排除一半选项**。

### 1.   基于分治实现二分查找

在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。

!!! question

    给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，其中所有元素都是唯一的，请查找元素 `target` 。

从分治角度，我们将搜索区间 $[i, j]$ 对应的子问题记为 $f(i, j)$ 。

以原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。

1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
3. 循环第 `1.` 步和第 `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。

图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。

![二分查找的分治过程](binary_search_recur.assets/binary_search_recur.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 12-4 &nbsp; 二分查找的分治过程 </p>

在实现代码中，我们声明一个递归函数 `dfs()` 来求解问题 $f(i, j)$ ：

=== "Python"

    ```python title="binary_search_recur.py"
    def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
        """二分查找：问题 f(i, j)"""
        # 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if i > j:
            return -1
        # 计算中点索引 m
        m = (i + j) // 2
        if nums[m] < target:
            # 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j)
        elif nums[m] > target:
            # 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1)
        else:
            # 找到目标元素，返回其索引
            return m

    def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
        """二分查找"""
        n = len(nums)
        # 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1)
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search_recur.cpp"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 计算中点索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
        int n = nums.size();
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="binary_search_recur.java"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 计算中点索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    int binarySearch(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search_recur.cs"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    int DFS(int[] nums, int target, int i, int j) {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 计算中点索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return DFS(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return DFS(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    int BinarySearch(int[] nums, int target) {
        int n = nums.Length;
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return DFS(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search_recur.go"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
        // 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
        if i > j {
            return -1
        }
        //    计算索引中点
        m := i + ((j - i) >> 1)
        //判断中点与目标元素大小
        if nums[m] < target {
            // 小于则递归右半数组
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m+1, j)
        } else if nums[m] > target {
            // 大于则递归左半数组
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m-1)
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }

    /* 二分查找 */
    func binarySearch(nums []int, target int) int {
        n := len(nums)
        return dfs(nums, target, 0, n-1)
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search_recur.swift"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    func dfs(nums: [Int], target: Int, i: Int, j: Int) -> Int {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if i > j {
            return -1
        }
        // 计算中点索引 m
        let m = (i + j) / 2
        if nums[m] < target {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums: nums, target: target, i: m + 1, j: j)
        } else if nums[m] > target {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums: nums, target: target, i: i, j: m - 1)
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m
        }
    }

    /* 二分查找 */
    func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
        // 求解问题 f(0, n-1)
        dfs(nums: nums, target: target, i: nums.startIndex, j: nums.endIndex - 1)
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="binary_search_recur.js"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    function dfs(nums, target, i, j) {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 计算中点索引 m
        const m = i + ((j - i) >> 1);
        if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    function binarySearch(nums, target) {
        const n = nums.length;
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="binary_search_recur.ts"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    function dfs(nums: number[], target: number, i: number, j: number): number {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 计算中点索引 m
        const m = i + ((j - i) >> 1);
        if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
        const n = nums.length;
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="binary_search_recur.dart"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    int dfs(List<int> nums, int target, int i, int j) {
      // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
      if (i > j) {
        return -1;
      }
      // 计算中点索引 m
      int m = (i + j) ~/ 2;
      if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
      } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
      } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
      }
    }

    /* 二分查找 */
    int binarySearch(List<int> nums, int target) {
      int n = nums.length;
      // 求解问题 f(0, n-1)
      return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="binary_search_recur.rs"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    fn dfs(nums: &[i32], target: i32, i: i32, j: i32) -> i32 {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if i > j {
            return -1;
        }
        let m: i32 = i + (j - i) / 2;
        if nums[m as usize] < target {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if nums[m as usize] > target {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
        let n = nums.len() as i32;
        // 求解问题 f(0, n-1)
        dfs(nums, target, 0, n - 1)
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search_recur.c"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    int dfs(int nums[], int target, int i, int j) {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1;
        }
        // 计算中点索引 m
        int m = (i + j) / 2;
        if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            return dfs(nums, target, m + 1, j);
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            return dfs(nums, target, i, m - 1);
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }

    /* 二分查找 */
    int binarySearch(int nums[], int target, int numsSize) {
        int n = numsSize;
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1);
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="binary_search_recur.kt"
    /* 二分查找：问题 f(i, j) */
    fun dfs(
        nums: IntArray,
        target: Int,
        i: Int,
        j: Int
    ): Int {
        // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
        if (i > j) {
            return -1
        }
        // 计算中点索引 m
        val m = (i + j) / 2
        return if (nums[m] < target) {
            // 递归子问题 f(m+1, j)
            dfs(nums, target, m + 1, j)
        } else if (nums[m] > target) {
            // 递归子问题 f(i, m-1)
            dfs(nums, target, i, m - 1)
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            m
        }
    }

    /* 二分查找 */
    fun binarySearch(nums: IntArray, target: Int): Int {
        val n = nums.size
        // 求解问题 f(0, n-1)
        return dfs(nums, target, 0, n - 1)
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="binary_search_recur.rb"
    ### 二分查找：问题 f(i, j) ###
    def dfs(nums, target, i, j)
      # 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
      return -1 if i > j
      
      # 计算中点索引 m
      m = (i + j) / 2

      if nums[m] < target
        # 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j)
      elsif nums[m] > target
        # 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1)
      else
        # 找到目标元素，返回其索引
        return m
      end
    end

    ### 二分查找 ###
    def binary_search(nums, target)
      n = nums.length
      # 求解问题 f(0, n-1)
      dfs(nums, target, 0, n - 1)
    end
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_search_recur.zig"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{binarySearch}
    ```

??? pythontutor "可视化运行"

    <div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%9A%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i,%20j%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E6%97%A0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20-1%0A%20%20%20%20if%20i%20%3E%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-1%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%AD%E7%82%B9%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%0A%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28m%2B1,%20j%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dfs%28nums,%20target,%20m%20%2B%201,%20j%29%0A%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i,%20m-1%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dfs%28nums,%20target,%20i,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%85%B6%E7%B4%A2%E5%BC%95%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20m%0A%0Adef%20binary_search%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28nums%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%B1%82%E8%A7%A3%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%280,%20n-1%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28nums,%20target,%200,%20n%20-%201%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%203,%206,%208,%2012,%2015,%2023,%2026,%2031,%2035%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%88%E5%8F%8C%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%89%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search%28nums,%20target%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%85%83%E7%B4%A0%206%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%20%3D%20%22,%20index%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20dfs%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int,%20i%3A%20int,%20j%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%9A%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i,%20j%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E6%97%A0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%BF%94%E5%9B%9E%20-1%0A%20%20%20%20if%20i%20%3E%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-1%0A%20%20%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%AD%E7%82%B9%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%0A%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28m%2B1,%20j%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dfs%28nums,%20target,%20m%20%2B%201,%20j%29%0A%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i,%20m-1%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20dfs%28nums,%20target,%20i,%20m%20-%201%29%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E5%85%B6%E7%B4%A2%E5%BC%95%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20m%0A%0Adef%20binary_search%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28nums%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%B1%82%E8%A7%A3%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%280,%20n-1%29%0A%20%20%20%20return%20dfs%28nums,%20target,%200,%20n%20-%201%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%203,%206,%208,%2012,%2015,%2023,%2026,%2031,%2035%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%88%E5%8F%8C%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%89%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search%28nums,%20target%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E7%9B%AE%E6%A0%87%E5%85%83%E7%B4%A0%206%20%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%20%3D%20%22,%20index%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=6&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>